domingo, 25 de marzo de 2012

No hay mañana

Vídeo sobre el problema energético y ecológico que tiene nuestra civilización. El problema del crecimiento infinito en un planeta finito.

viernes, 23 de marzo de 2012

Historia de las ecuaciones y de los sistemas lineales

Historia de las ecuaciones lineales.

    La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

    La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

    Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años.

    Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

    Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

    Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:


    " Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años.
    De todo esto, deduce su edad. "


    Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:


    " Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. "


    Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.

    Dada la ecuación ax + b = cx + d , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

    Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.

Historia de los sistemas de ecuaciones lineales.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

jueves, 15 de marzo de 2012

Zoológico

La cebra, el elefante y el conejo del zoológico están a dieta de zanahorias. El conejo come en un año (365 días) la misma cantidad de zanahorias que el elefante come en dos días y lo que come el elefante en un día coincide con lo que come la cebra en 5 días. En un día el elefante, la cebra y el conejo comen 55 kg de zanahorias. ¿Cuántos kg de zanahorias come cada uno en un día?

La leyenda del ajedrez

Cuenta la leyenda que había en la India un rey llamado Shirham, qué estaba permantentemente aburrido, triste, según se dice por la pérdida de su hijo en el campo de batalla Así pues, Shirham encargó, a un sabio llamado Lahur, que inventase un juego que le permitiese salir de su tedio.

ajedrezTranscuriido un tiempo, Lahur presentó al monarca un juego nuevo que se jugaba en un tablero dividido en 64 cuadros (8x8) sobre el cual se situaban fichas de distinto tipo con capacidades de movimiento distintas, intentando simular un campo de batalla. El juego en cuestión era el ajedrez que conocemos hoy en día.

Tan maravillado quedó Shirham por el nuevo juego que le dijo a Lahur que le pidiese lo que quisiera como recompensa de semejante invento. La sorpresa del rey fue mayúscula cuando escucho la petición del sabio, sólo le pedía arroz. Lahur le pidió: un grano de arroz por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta... y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última.

El monarca encantado por lo barato que le iba a resultar el juego tan genial, procedió a realizar el pago y......

Y NO HABÍA ARROZ EN TODO EL REINO PARA PAGAR LA DEUDA.

¿De qué cantidad de arroz estamos hablando?

Por cada casilla, tomamos el doble de granos de arroz que en la anterior, obteniendo una progresión aritmética de primer término 1 y razón 2.

a1=1, a2=2, a3=4, a4=8, a5=16, a6=32 ....

Y la suma de una progresión geométrica de razón r es:

Sn=(an*r -a1)/(r-1)

Siendo n=64, y r=2 se llega a:

S64=(a64*2 -1)/(2-1)=263*2-1=264-1

Por tanto Lahur había pedido:

18 446 744 073 709 551 615 granos de arroz

¿De cuántos kilos de arroz estamos hablando?

Un grano de arroz pesa aproximadamente unos 0.20 gramos, por lo que en un kg de arroz hay unos 5000 granos de arroz. Por lo que la deuda ascendía a

3689348814741910 kg de arroz

Los trailers grandes que vemos por las carreteras, tienen una capacidad de carga de 25 toneladas y miden 13,60 metros por lo que nos harían falta:

3689348814741910/25000=147573952589 trailers para transportar el arroz

Y todos estos trailers formarían una caravana de unos:

147573952589*13,60=2007005755210 metros= 2007005755 km


Pero no obstante, el rey Shirham, qué sabía muchas matemáticas, pagó su deuda.

¿Cómo pagó su deuda el rey?

El rey le dijo al sabio:

"Puesto que no tengo el arroz suficiente para pagar mi deuda, vamos a convertir la deuda en una deuda infinita, de manera que mis hijos seguirán pagando a tus hijos el arroz que necesiten, mis nietos a tus nietos y así garantizamos que se pagará la deuda en función de la siguiente sucesión: S=1+2+22+23+24+25+26.....+2n+... así hasta el infinito"

A el sabio, le pareció una buena solución ya que así el tenía aseguarado el sustento para él y para sus descendientes, pero una vez aceptado el trato el rey se sacó de la manga un truco matemático:

Si mi deuda es S y:

S=1+2+22+23+24+25+26.....+2n+...

Sacando 2 como factor común tenemos

S=1+2*(1+2+22+23+24+25+26.....+2n+...) por lo que

S=1+2*S de donde se obtiene

S=-1.

y concluyó el rey: "ME DEBES UN GRANO DE ARROZ"

El sabio, no sabía como rebatirle a el rey el razonamiento y acabó por pagarle el grano de arroz.

Obviamente, el razonamiento hecho por el rey es erroneo.

¿Dónde está el error que no supo ver el sabio?


miércoles, 14 de marzo de 2012

Soldado de segundo grado.


Los gritos de los obuses desgarraban el aire sobre nuestras miradas. Yo, tan lívido como de costumbre, me aferraba a las hojas ajadas que hbía conseguido ocultar bajo mi chaleco. Hubiera cerrado los ojo, hubiera querido gritar yo también; pero si el pánico solo se ahuyenta olvidándolo, era el mosaico perfecto que forman números, letras y líneas el que hacía que él me olvidara a mí. Mientras el bombardeo arrasaba la superficie, mi mirada seguía febrilmente el ángulo marcado por un compañero recostado contra la pared de la trinchera, y mi mente desaparecía de aquella atmósfera oprimente de tierra, humo y sangre, y comenzaba a calcular senos y cosenos, Pitágoras y Tales, lejos del miedo y del estruendo. Último día en primera fila. Al día siguiente volveríamos a los barracones, la guerra sería solo fragores aislados y yo podría volver a reunir todos mis apuntes. Pero primero había que sobrevivir a la noche de ofensiva.
Yo no sabía cómo había terminado aquí, ni qué hacía en medio de una batalla que no era, desde luego, la mía. Yo era un estudiante de Matemáticas que un día, tras volver de la facultad, se había encontrado con una guerra y, antes de poder darse cuenta, en una lista de reclutamiento que le eran totalmente ajenas, en un campo de entrenamiento... y de pronto, aquí. Solo tuve tiempo justo para abrazar a mi madre, empaquetar mis apuntes de la Universidad y darle un adiós silencioso a mi pueblo. Mi pueblo, dividido en dos por un río, dividido en dos por los hombres. Esperaba no llegar a ver jamás lo que allí había hecho el odio.
Las estrellas ya se habían desvanecido y se declaró una minúscula tregua. Nosotros salimos de la trinchera entumecidos mientras a nuestro lado pasaban las bajas que habíamos oído durante toda la noche. Una mañana más, suspiré y aparté los jos. Unos y otros, eran números que florecían marchitos en lágrimas, dolor, vacío y vidas truncadas, números que avanzaban en horrible progresión geométrica,¿hacía dónde? ¿Qué le ocurriría a un mundo donde no existan hombres jóvenes, más que en recuerdos de muerte y sufrimiento?.
Llegamos a los barracones, a mi "despacho", como me gustaba decir. Con un enorme alivio, rescaté de debajo de un catre hundido y mohoso todos mis papeles. Aunque su situación era mucho más segura que al principio, aún temía por su supervivencia. Cualquiera puede imaginar que un estudiante de Matemáticas que pasa por sus horas de respiro entre batalla y batalla ( y últimamente, también durante estas ) encerrado en sus ciencias no era un fenómeno muy común, ni tampoco demasiado bien visto. Mis compañeros de habitáculo, que durante los primeros meses no concebían una actitud tan extraña y se cansaban de reírse del cerebrito haciendo cuentas ya parecían ir aceptándolo, e incluso alguno había llegado a acercarse a preguntarme por mis números; entonces yo era feliz. Consideraba que aya estaba derrochando ingentemente el tiempo como para además perder años de Universidad. No podría avanzar cursos, pero quería poder reengancharme en cuanto volviera - ¿volvería?-, sin haber olvidado nada. Era la promesa que nos habíamos hecho Bernat y yo. Dos apasionados de las ciencias exactas, dos universitarios de Matemáticas, dos indios que jugaban a hacer las paces con los vaqueros hasta que llegaba la hora del bocadillo de chocolate, dos vecinos del mismo pueblos... de distintas orillas del río. Ahora se suponia que luchabamos como enemigos - ¡valiente tontería! -, pero por suerte siempre nos habíamos mantenido en frentes distintos. Ojalá no nos volviesemos a encontrar hasta que terminase la guerra. Entonces volveríamos a ser estudiantes en un mundo de paza, llenos de esperanza, de ilusión y de futuro.
Después del precario rancho, que solo nos dio más hambre, decidí salir del campamento, incapaz de conciliar el sueño aun tras la noche en la batalla. Afortunadamente, no era la culpabilidad lo que me desvelaba. Me las había arreglado, desde el inicio de la guerra, para no disparar; y había conseguido no herir más que a las nubes de humo que ahogaban el cielo. La suerte había jugado de mi parte, nunca me había visto llevado al límite de tener que decidir entre mi supervivencia y la de ese hombre que, a pocos metros de mí, escondía la historia de una vida, de una familia y de unos sueños tras unos burdos colores embarrados.
Mis pasos me llevaron más lejos de la base de lo que era mi intención. Aquellos árboles, en otro tiempo exuberantes y frondosos, sacados de un cuento de hadas, ahora intoxicados de pena, mustios y quebrados, no me dijeron lo que me susurró el río. Palidecí. El rumor de las aguas, el chocar de los guijarros en el fondo... los conocía mejor que la palma de mi mano.
Alcé la vista y ahogué un grito. Un soldado enemigo estaba frente a mí, en la otra orilla. Yo estaba a descubierto. Demonio, por qué habría sido tan imprudente... Y entonces vi que le soldado me sonreía.
- Águila Blanca, ¿qué es esto? Antes distinguías a los vaqueros cuando solo eran una mota de polvo en el horizonte.
- ¡Búfalo Rojo!-reí yo también, y en un segundo los dos antiguos indios habíamos vadeado la mitad del riachuelo y nos destrozábamos la espalda a palmadas.
-Te dije que nos veríamos antes de acabar las vacaciones, Bernat-le recordé.
- Las vacaciones...-repuso él, pensativo-.¿Sabes?, yo he seguido aquí con las matemáticas. No te asombre, tú y yo siempre hacemos lo mismo. Y cuanto mejor entiendo a los números y a las letras, menos entiendo a los hombres. Echo de menos a mi familia, echo de menos la facultad, echo de menos a Miriam. Vengo aquí echando a perder mi juventud para arruinar la vida a otros. Ya ves que mañana volveremos a casa.¿A qué? A destruir el pueblo que nos vio crecer, nuestros recuerdos de infancia y la infancia de los que están aún por venir. No sé cuánto tiempo más resistiré de soldado. En cuanto pueda, me iré lejos para empezar una vida nueva... Pero no quiero atormentarte con mis locuras y mis sueños. Té, ¿estás bien aquí?
Me encogí de hombros y dejé escapar una carcajada impregnada de fustración.
- Bernat, tú estas en un bando, yo estoy en otro. El orden de los factores no altera el producto.
En ese momento, sentimos voces. Mandatos claros y vigorosos de un capitán de instrucción. Bernat reaccionó de inmediato y se despidió.
- Es mi regimiento, esta tarde teníamos que formar y me escapé del grupo sin que me vieran. Tengo que irme, y tú también deberías. ¡Estás en territorio sioux, Águila Blanca! - me advirtió, guiñándome un ojo.
Nos estrechamos la mano en silencio y, en un instante, Bernat había desaparecido entre los árboles. Dentro de mi mano tenía un papel arrugado y húmedo.
De nuevo a solas y en seguro, lo desplegué. Entonces sí que no comprendí nada:
¿Una ecuación de segundo grado?¿Cuánto tiempo hacía de aquello? Visto que no era ninguna novedad personal ni matemática, solo me quedaba preguntarme con qué objetivo me la enviaba ... y su significado.
Ya en mi "despacho", procedí a centrarme en el enigma. Tenía una incógnita,x. ¿A qué se refería? En mi vida había muchas incógnitas. ¿Era la respuesta al "qué hago aquí"? ¿Acaso al "qué me espera", "cuál va a ser mi futuro"?¿O era mi vida entera la que se había transformado en una letra?
Me gustó pensar que la x miraba hacia adelante, que me daría el rumbo que tomaría mi existencia en función del discriminante.
Pasé al otro miembro. -b... Tuve un mal presentimiento. Con un escalofrío, guardé en el capote mi preciada ecuación.
No tardarían en llegarme noticias de que Bernat cayó esa misma noche.
****
Cuando volví a subir a aquel cerro por el que tantas veces había trepado en otras tardes de verano, se me hizo un nudo en la garganta. Ante mi vista se extendían los vastos campos de cereal, que en la imaginación de dos niños se habían transformado en el inmenso desierto de Arizona. Allí los indios, cuando se habían hartado de ser los intrépidos espías X e Y o de turnarse a representar al científico loco y su ayudante, se sentaban con las piernas cruzadas a compartir tranquilamente los conocimientos nuevos y deslumbrantes que habían alcanzado los matemáticos-chamanes de sus respectivas tribus. Sonreí recordando la primera vez que había oído hablar de la serie de Fibonacci de labios de Búfalo Rojo, mientras yo le contaba orgulloso cómo funcionaban los números figurados. A veces, la imaginábamos largas peroratas con las que convencíamos a algún esporádico vaquero a respetar a la naturaleza y a nosotros, sus "hermanos", poniendo en evidencia su inferioridad académica. No había un domingo en el que no fumásemos, como viejos y venerables jefes, la pipa de la paz, que comprábamos por una insignificante fortuna al tendero del pueblo, un simpático hombrecillo que disfrutaba aún más que nosotros con los juegos que nos proporcionaban sus piruetas.
La tienda... La busqué con la mirada, cruzando el puente que unía lo que ahora queríamos separar... y no la alcancé. ¿Qué estaba ocurriendo allá abajo? A lo largo de la orilla contraria, un enjambre de soldados construían algo, levantaban la tierra, manipulaban alambres. La mayoría se agolpaba junto al puente, delante de la primera casa... la casa de Bernat. Nada bueno podían estar haciendo, y menos cuando llegó hasta mí la palabra "reventar". En medio de un torbellino de imágenes procedentes de otro cuento, de un mundo feliz, de la madre que jugaba al parchís las tardes de lluvia con aquellos 2amigos, que cantaban con ellos y que escuchaba pacientemente las aventuras que le contábamos, yo y aquel hijo que nunca más regresaría, bajé corriendo como una exhalación hacia el pueblo. Debía al menos avisar a aquella familia que también había sido la mía, como sé que Bernat habría hecho si nos hubieran dejado al revés las orillas del río. Al llegar al puente, ya sabía de sobras que mi b2 era el terreno, la casa de Bernat, y que era el momento de elegir el signo de mi raíz. Si intuí entonces qué podría significar esta, me esforcé por evitar mis pensamientos.
No escuché los gritos de "¿Qué haces?", "¡Va a meterse en la zona cercada, está loco!", "¡Es para que ellos no salgan, no para que tú entres, camarada!","¡Va a explotar en cuanto te acerques!" y los últimos "¡Vuelve!" de mis compañeros. Solo tenía mente para desear con todas mis fuerzas que mi discriminante fuera mayor que cero.
En el preciso instante en el que puse mi bota al otro lado del puente, un estruendo sacudió la tierra, y el humo lo invadió todo, se coló por mis ojos e inundó mi mente. Mientras un perro rabioso incrustaba sus colmillos en mi mano, puede ver cómo por encima de mi cabeza volaban pedacitos de metralla... pedazos cuadrados, perfectamente cuadrados.
Negros como la sábana con la que el dolor cubrió mi mundo.
****
Ha pasado ya mucho tiempo desde aquellas historias de guerra, que fueron para todos irreparables. Entonces, maravillosamente, no arrastré a nadie en mi quijotesca locura; perdí 4 dedos de la mano, perdí los mejores años de mi vida, y la ciencia que me podrían haber brindado... perdí a mis amigos, perdí a tantos a los que quería.
Ahora soy profesor de Matemáticas en un instituto, como siempre había sido mi sueño. Pero es un sueño amargo, como todo lo que se comparte una vez y luego no se tiene con quién compartir. Y todo el mundo sabe que al llegar al tema seis, las ecuaciones de segundo grado, el profesor manco tiene que salir precipitadamente de clase.
Magdalena Rodríguez Dehli.

martes, 13 de marzo de 2012

Indicadores



Google Public Data es una herramienta que permite realizar gráficos con más de 49 indicadores de unos 209 países. Las variables pertenecen a los campos de la economía, tecnología, medio ambiente, etc. Los datos se basan en información proporcionada por DataFinder, una herramienta del Banco Mundial, los gráficos también se pueden realizar con Data Visualizer. ¿Te atreves?

viernes, 9 de marzo de 2012

Comic "La historia de las matemáticas"

En este enlace podéis ver online este cómic. A medida que vamos pasando las páginas iremos descubriendo la historia de las matématicas desde la prehistoria hasta nuestros días. También nos proponen una serie de actividades relacionadas en forma de juegos.

jueves, 8 de marzo de 2012

Mujeres matemáticas

A lo largo de la historia encontramos gran número de mujeres destacadas en todas las especialidades pero que por el hecho de ser mujeres han tenido mayor dificultad para poder ser reconocida su labor.

Las mujeres aparecen en la historia de las matemáticas ya desde la antigüedad, y actualmente desarrollan una actividad matemática mayor que nunca, entonces, ¿Por qué, entonces, no se citan mujeres matemáticas anteriores al siglo XX? Las razón es un conjunto de barreras social y culturalmente impuestas, entre las que podríamos citar:

* Actitudes negativas no sólo acerca de su talento científico (por poner algunos ejemplos de personajes intelectualmente influyentes, valga citar que el filósofo Kant llegaba a decir que era tan posible que una mujer tuviera barba como que sintiera preocupación por la geometría, y el matemático De Morgan consideraba a las mujeres débiles y sin preparación física para actividades científicas), sino también acerca de la utilidad de las matemáticas para ellas (llegaron a aparecer incluso datos médicos que señalaban que una mujer que pensara demasiado podía sufrir desviaciones de la sangre desde el aparato reproductor hacia el cerebro)

* Dificultades para conseguir una educación matemática (en el pasado, quizá por el papel social que le vino siempre impuesto, fue siempre raro que una mujer pensara siquiera en iniciar el arduo y difícil camino de llegar a tomar contacto con matemáticas superiores; hasta después de la 1ª guerra mundial, era normal que la mujer no pudiera acceder a puestos universitarios)

* Falta de apoyo y comprensión para relevar a la mujer de las tareas cotidianas (el investigador matemático siempre ha necesitado grandes dosis de tiempo; piénsese, entonces, en el rol histórico de las mujeres, llevado a su máximo en el pasado: criar hijos, cocinar, coser, etc.)