jueves, 31 de marzo de 2011

Medidas de longitud



En este juego de tablero cada jugador lanza el dado y avanza tantas casillas como indica el dado. Para poder seguir avanzando sobre el tablero cada jugador tiene que resolver el pequeño enigma que se le plantea en su casilla. Gana el jugador que consigue llegar antes a la meta.

Materiales: tablero, cinta métrica, fichas de colores y un dado.

Andrea, IES Maciá Abela

miércoles, 30 de marzo de 2011

¿El Doctor Livingstone, supongo?

-¿El señor Stanley, supongo? –preguntó el doctor Livingstone.

-Un momento, un momento –contestó Stanley, desconcertado, y añadió: -Se supone que eso tengo que preguntarlo yo.

-¿Por qué? –volvió a preguntar el doctor Livingstone.

-Porque he sido yo el que lo ha encontrado a usted… y además porque estoy seguro de que esta pregunta se hará muy famosa en el futuro y quisiera aparecer yo como autor de la misma.

-Bien, por mi parte no hay inconveniente, puede usted preguntarme si soy yo.

Y Henry M. Stanley retrocedió seguido de su expedición hasta la entrada de la aldea de Ujiji, para repetir la entrada. Así, se acercó a la cabaña en cuyo porche le esperaba el doctor Livingstone… y le preguntó:

-¿El doctor Livingstone, supongo...?

Así ha pasado a la posteridad, tanto la frase como el hecho de que el periodista y aventurero Stanley encontrara en África al misionero y médico Livingstone. O al menos así lo cuenta la Historia partiendo, claro está, de la crónica escrita por el periodista para su periódico, “The New York Herald”. Pero así como todos sabemos que la Historia a veces no cuenta toda la verdad (y si la cuenta la adorna convenientemente) imagínense si la Historia, además, se ha apoyado en la crónica escrita por un periodista.

El doctor Livingstone no estaba perdido en África. Simplemente había dejado de comunicarse con el llamado “mundo civilizado” por decisión propia. Y vivía cómodamente instalado y tratado con gran consideración por los nativos en la aldea de Ujiji, cerca del lago Tanganica.

La historia de esta aventura comienza en Madrid, ciudad donde Stanley se encontraba en el año 1869 como corresponsal de su periódico para escribir una crónica sobre el general Prim. Fue entonces cuando recibió una carta del director de su periódico citándole en París para un importante asunto. Y el asunto no era otro que encontrar al doctor Livingstone, al que se daba por perdido en África al no haber tenido noticias suyas desde hacía tres años. El director del periódico, Gordon Bennet, demostrando que la Geografía no era su fuerte, le ordenó:

-Vaya en busca de Livingstone y encuéntrelo, pero antes, y ya que está en el norte de África, podría asistir a la inauguración del Canal de Suez y enviar la crónica. Después, y ya que está por ahí arriba podría acercarse a Jerusalén y a Constantinopla, pasando también por Crimea para informar de la guerra, y también podría dirigirse al Cáucaso y al mar Caspio… y desde allí a India atajando por Persia y ya puestos, desviarse un poco hasta Bagdad, ya que le queda de camino, más o menos. Y de vuelta a India ya puede embarcarse tranquilamente hacia África. Estoy seguro de que enviará al periódico crónicas muy interesantes… pero no olvide que lo prioritario del viaje es encontrar al doctor Livingstone. ¿Qué le parece?

A Stanley, a pesar de su espíritu aventurero, le pareció un disparate pero una buena ocasión de hacer turismo antes de que se hubiera inventado el turismo. Así que se puso inmediatamente en marcha hacia su destino sin saber exactamente cual era su destino, ya que no había tomado nota de todas las propuestas, aunque contaba con el dato importante de que Livingstone estaba obsesionado con encontrar las fuentes del río Nilo así que, pensó, quizá remontando el Nilo lo encontraría.

En cuanto llegó al continente africano, después del disparatado periplo, Stanley remontó el río Nilo hacia el lago Tanganica con una expedición de lujo pagada generosamente por su periódico. La expedición estaba formada por una gran escolta armada y decenas de porteadores que acarreaban tiendas de campaña, grandes fardos con toda clase de alimentos y mercancías de intercambio, cocinas de campaña, utensilios de aseo y de cocina y hasta una bañera para el jefe de la expedición que iba a su frente fuertemente armado y enarbolando una gran bandera de los Estados Unidos… Y todo eso para encontrar a un hombre que todo el mundo sabía donde estaba, al menos en África, como lo demostró el hecho de que a la primera persona que se encontró Stanley nada más bajar del barco, un descargador de muelle, contestó así a su pregunta:

-¿Qué si conozco al doctor Livingstone? Pues claro.

-¿Y dónde se encuentra? -preguntó Stanley, desconcertado.

-Por allá abajo –contestó el descargador, haciendo un gesto de cabeza hacia el sur y sin molestarse en dejar en el suelo el saco de cien kilos de café que cargaba a su espalda.

-¿No podría ser más preciso? –dijo Stanley.

-Hombre, ya que ha venido usted a buscarlo con toda esa puesta en escena –y señaló con otro gesto de cabeza a los componentes de la numerosa expedición que esperaban al pie del barco- lo menos que podría hacer es esforzarse un poquito, ¿no?

Una generosa propina hizo el milagro:

-Dicen que vive en Ujiji, al otro lado del lago Tanganica. Bueno, al otro lado dependiendo del lado por el que usted llegue al lago, ya que puede estar a este lado del lago o al otro lado del lago. Pero es muy sencillo: si no lo encuentra usted en el lado por el que llegue es porque ese no es el otro lado del lago Tanganica, sino este lado del lago Tanganica, así que no tendrá más que ir al lado que es el otro lado, o sea al lado que está enfrente del lado que no es, y ese sí que es el otro lado del lago Tanganica ¿está claro?

Convencido de que el descargador le había tomado el pelo y aún desorientado (aunque se volvió a orientar con ayuda de la brújula) Stanley y su caravana se pusieron en camino hacia el sur.

En su camino, preguntaron en todas las aldeas que encontraron y en todas conocían al doctor Livigstone, añadiendo que vivía al otro lado del lago Tanganica. Después de varias jornadas (no tantas ni tan incómodas como el periodista narró en sus crónicas con el fin de justificar sus gastos) acamparon en un claro ya que habían calculado que al día siguiente llegarían al lago… con la angustia de no saber por qué lado. Stanley, que escribía en su tienda la crónica del día, se vio interrumpido por una gran algarabía. Y al asomarse vio que junto al fuego, un grupo de porteadores discutían y hasta se peleaban a bastonazos. Al acercarse para poner orden, los contendientes dejaron de pelearse y le gritaron:

-¡No lo pise, no lo pise!

Y al mirar a sus pies Stanley se dio cuenta de que estaba en medio de una gran circunferencia trazada sobra la arena con una serie de puntos señalados con guijarros fuera y dentro de ella. Y preguntó:

-¿Qué es esto?

-Esto es el lago Tanganica –contestó el guía.

circunferencia y puntos

-Ah –dijo Stanley, por decir algo, pero el que había hablado, al ver que no se había enterado de nada, precisó:

-Estamos haciendo apuestas sobre qué lado del lago vamos a llegar –y al ver que Stanley seguía con la misma expresión, el guía añadió: -Imaginando que la circunferencia trazada es el lago, aunque sea mucho imaginar, la mitad de nosotros apostamos que estamos en el punto B exterior a la circunferencia, y la otra mitad que estamos en el punto D; cuatro o cinco opinan que estamos en el punto C más próximo a D pero eso sería absurdo porque entonces estaríamos ya en la misma orilla del lago… y, para colmo, el cocinero asegura que estamos en el punto A, sin darse cuenta que es el centro de la circunferencia y, por lo tanto, el centro del lago… con lo cual ahora estaríamos nadando.

-¿Y por que no esperar a mañana, en lugar de discutir tanto?

-Porque, de paso, nos entretenemos. Además de las apuestas sobre la orientación respecto al lago resolvemos un problema muy sencillo: si desde el punto B trazamos segmentos que unan dicho punto con los puntos C de la circunferencia: ¿Qué figuras forman los puntos medios de esos segmentos? Es que a nosotros disfrutamos mucho con las matemáticas.

-¿Ustedes saben matemáticas? –preguntó Stanley, sorprendido.

-Y también inglés, desde el momento que estamos hablando con usted. Es que eso del negrito ignorante tiene mucho de leyenda. Yo, por ejemplo, he estudiado matemáticas en Oxford. Sí, no ponga esa cara. Pasé en cayuco a Europa, me instalé en Inglaterra y trabajando de camarero me pagué mis estudios. Al terminar me propusieron quedarme como profesor adjunto, pero como la vida en Europa me decepcionó y gano mucho más de guía de ingleses y norteamericanos ignorantes del terreno que pisan que de profesor, pues por eso estoy aquí.

Stanley, avergonzado no sólo por no saber resolver el sencillo problema que ya habían resuelto la mayoría de los porteadores, sino también por todo lo escuchado, pretextó para despedirse que al día siguiente tendrían que madrugar. Y cuando se alejaba hacia su tienda, escucho la voz del guía que le decía, con un punto de sorna:

-Bwana Stanley, bwana Stanley, tenga este problemilla para que se entretenga antes de dormir. Es medio problema, medio juego, y muy entretenido… aunque no tan sencillo como pueda parecer a primera vista –y le entregó un papel en el que estaba el enunciado escrito en impecable letra redondilla inglesa acompañado del siguiente dibujo:

“Divide el cuadrado en cuatro partes iguales en forma y tamaño, de tal forma que cada parte contenga un círculo y un cuadrado, aunque no necesariamente en las mismas posiciones.”

cuadrado

Syanley no supo resolver el problema y se levantó agotado a la mañana siguiente, cuando ya estaba la caravana preparada para la marcha.

A las cuatro horas de marcha llegaron a la orilla del lago Tanganica… con la duda de en qué lado estarían: en el lado de Ujiji o en el otro lado. Viendo que un pastor apacentaba su rebaño de cabras, el periodista se acercó para preguntarle:

-¿Sabe usted si éste es este lado del lago Tanganica o el otro lado del lago Tanganica?

-Éste es este lado del lago Tanganica, el otro lado del lago Tanganica es aquél –contestó el pastor, señalando con el bastón la otra orilla del lago.

Y ya se iban a poner en marcha hacia el otro lado del lago Tanganica cuando el guía le preguntó a Stanley:

-¿Y si llegamos al otro lado del lago y nos dicen que el otro lado es éste? No sería más sencillo por la aldea de Ujiji.

Y antes de que les diera tiempo a preguntar, el pastor dijo:

-Haber empezado por ahí. En ese caso sí que están ustedes al otro lado del lago Tanganica, que es este lado, ya que Ujiji está ahí mismo, a un tiro de piedra. Además, seguro que vienen a buscar al doctor Livingstone pensando que se ha perdido. Por cierto, ¿quieren ustedes un chivo expiatorio?

-¿Para qué? –preguntó Stanley, que no salía de su asombro.

-Pues para echarle la culpa de todo, que es lo que se hace con los chivos expiatorios. Es que nosotros somos más civilizados que ustedes los blancos, y cuando tenemos que culpar a alguien de algo, en vez de arremeter contra él pues lo hacemos con el chivo expiatorio. Yo soy el pastor del rebaño de chivos expiatorios. Qué, ¿no me compran uno?
Convencido, Stanley compró un chivo expiatorio para poder echarle la culpa en el caso de que algo fallara en la expedición. Y con el chivo entró en Ujiji el 10 de noviembre de 1871, donde, para su sorpresa, todos le esperaban a él ya que había llegado la noticia de que una gran caravana se acercaba a la aldea. Todos los aldeanos y una gran cantidad de mercaderes árabes se congregaban en la plaza y fueron abriendo paso a Stanley. Así, le encaminaron hasta una choza más grande y confortable que las demás ante la que esperaba un hombre blanco con una larga barba canosa, pálido y de aspecto enfermizo, que cubría su cabeza con un gorro azul con bordados dorados y que vestía una camisa roja con anchas mangas y un pantalón a cuadros. A su lado, sus dos fieles criados Susi y Chuma. Entonces fue cuando se produjo el intercambio de frases de saludo que abren este relato, tras las cuales El doctor Livingstone y Stanley se sentaron en el porche de la cabaña para descansar y para contarse lo que ambos estaban deseando escuchar: uno las peripecias del otro en su periplo africano, y el otro qué es lo que había acontecido en Europa y el resto del mundo en su larga ausencia.

En ese momento, Susi y Chuma entraron con un recipiente, una especie de extraño barreño lleno de agua para que Stanley se refrescara.

Al periodista le pareció una idea extraordinaria, y ya se estaba quitando la sudada camisa cuando el guía de la expedición, el apasionado de las matemáticas, advirtió:

-¿Se han dado cuenta de que el recipiente está formado por seis pentágonos regulares? Miren, si abriéramos el recipiente cortando dos lados de cada pentágono tendríamos una figura así –y dibujó en la arena la figura desarrollada -Ven qué curioso, ¿ven los seis pentágonos? –preguntó a los anonadados espectadores, que no entendía adónde quería ir a parar.

seis pentágonosfigura

-Sí, los vemos, ¿y qué? –preguntó Stanley, visiblemente molesto, ya que el guía se interponía entre él y el barreño.

-Pues que si ahora observan el recipiente que contiene el líquido verán que los seis pentágonos unidos han dado paso a un problema que tengo que reconocer tiene su dificultad. La figura, como ya he dicho, se compone de seis pentágonos regulares de 1 metro de lado. Se dobla por las líneas de puntos hasta que coincidan las aristas no punteadas que confluyen en cada vértice y ya tenemos el recipiente.

-¿Y qué? –volvió a preguntar el periodista, impaciente.

-Pues que ahora pregunto: -¿Qué volumen de agua cabe en el recipiente formado?

A una orden de Livingstone, que no era muy aficionado a las matemáticas, Susi y Chuma echaron al guía y, por fin, Stanley pudo refrescarse teniendo cuidado con no pincharse con lo que antes creía que eran simples picos, pero sabiendo ahora que eran los vértices superiores de los cinco pentágonos que cerraban el recipiente.

Esa noche, instalado en la cabaña del doctor Livingstone, tampoco pudo dormir dándole vueltas al problema de los seis pentágonos… hasta que recordó que atado a la puerta estaba el chivo expiatorio. Así que salió, le echo la culpa de no saber resolver los problemas y de vuelta a la cama, ya pudo conciliar el sueño.

P.D: El doctor Livingstone (1813-1873) médico, misionero y explorador trató, sin éxito de encontrar las fuentes del Nilo, aunque descubrió una serie de importantes lagos y las cataratas Victoria. Hombre desprendido, abnegado y antiesclavista ofreció su vida en servicio de los demás y murió en el transcurso de una expedición más en busca del nacimiento del Nilo, cerca del lago Bangwelu que él mismo había descubierto. Sus fieles criados Susi y Chuma le extrajeron el corazón y lo enterraron en aquel lugar, embalsamaron su cuerpo y lo llevaron en andas durante 1.600 kilómetros hasta la costa para embarcarlo hacia Inglaterra. La Royal Geographical Society los condecoró por esta hazaña y cuando volvieron a Zanzíbar se convirtieron en guías de caravanas.

Henry M. Stanley (1841-1904) era el polo opuesto al doctor Livingstone. Aventurero inquieto, racista, duro y agresivo, se alió con mercaderes de esclavos para así mejor llevar a cabo sus expediciones por el continente africano en las que trabajo para Leopoldo II de Bélgica, el gran explotador de Congo, país que manejó, para vergüenza de Europa, como su finca particular. Pero eso no le importaba a Stanley, que se aliaba al mejor postor, haciéndolo después con los colonialistas ingleses. Sin embargo, su deleznable actuación no empaña su importancia como explorador, descubridor y autor de artículos y libros de éxito. Se retiró a una lujosa mansión en Inglaterra y fue miembro del Parlamento y nombrado Sir.

FIN

martes, 29 de marzo de 2011

El número pi

Los objetos redondos (ruedas, recipientes,...) han sido utilizados por el hombre desde hace miles de años. Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su diámetro.
A lo largo de la historia se han obtenido distintos valores para esta relación calculados con diferentes métodos, pasando por la inscripción de polígonos de distintos lados en la circunferencia, complicadas series matemáticas, hasta los complejos programas informáticos ejecutados por modernos ordenadores.
Desde el siglo XVII esta relación fue identificada con el nombre “Pi” (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un número irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.
El número Pi se define normalmente como la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El valor más utilizado con fines prácticos es de 3,1416 aunque desde distintas culturas (china, egipcia, europea, india,…) se ha tratado de obtener mejores aproximaciones de Pi por su aplicación en campos tan distintos como la astronomía y la construcción.

Curiosidades

- En 1983, Rajan Mahadevan fue capaz de recitar de memoria 31.811 decimales de π.

- Los pies de un elefante tienen forma circular. Multiplica el diámetro de su pie por 2 π, y el resultado obtenido es la altura del elefante (de los pies a la espalda).

- Si quisiéramos escribir en línea recta los 200.000 millones de decimales de Pi calculados por Kanada y Takahasi en 1999, el papel necesario tendría una longitud tal, que podría dar una vuelta a la circunferencia de la Tierra.

- Con sólo unos 40 decimales del número Pi se podría calcular la longitud de una circunferencia que abarcara a todo el universo visible, con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno.

- El matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610) pidió que, como epitafio pusieran en su lápida las 35 cifras del número Pi que había calculado. Los alemanes llaman a Pi ludofiano.

- William Shanks, matemático inglés, dedicó 20 años de su vida calculando decimales de Pi “a mano” y sólo llegó hasta el decimal 707 De los decimales que calculó sólo eran correctos 527. El error no se descubrió hasta 63 años más tarde. Y ese error no se reveló hasta el año 1945 En 1949 uno de los primeros ordenadores el ENIAC, trabajando durante 70 horas, dio 2037 decimales.
En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10.000 cifras de Pi.
En 1961 Daniell Shanks (sin relación con William Shanks) y Wrench. obtuvieron en 100.265 cifras en un IBM 7090.
En 1983, Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada utilizando un HITAC M-280 H, obtuvieron 16.777.206 (224) cifras.
En 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras con 1024 procesadores.

sábado, 12 de marzo de 2011

Los hermanos Marx

  • Autor: Los Hermanos Marx (Chico, Harpo y Groucho, y los dos menores Zeppo y Gummo)
  • Texto:

    Groucho: Si tuvieses 10 manzanas y quisieras repartirlas entre seis personas ¿qué harías tú?

    Gummo: Haría compota de manzana.

    Groucho: ¿Cuál es la forma de la Tierra?

    Harpo: Pues no lo sé.

    Groucho: Bien, veamos, ¿cuál es la forma de mis gemelos?

    Harpo: Cuadrada.

    Groucho: No los gemelos de diario, sino los que yo visto los domingos.

    Harpo: Ah, redonda.

    Groucho: Muy bien, ¿cuál es la forma de la Tierra?

    Harpo: Cuadrada entre semana y redonda los domingos.

jueves, 10 de marzo de 2011

El método de la celosía

El método de la celosía es un método para multiplicar números enteros que inventó un matemático italiano, Luca Pacioli, en el siglo XV. Funciona de la siguiente manera:

Si queremos multiplicar 329 x 718, como cada número tiene tres dígitos entonces dibujamos una cuadrícula de 3 x 3

En la cuadrícula trazamos las diagonales como se muestran en el dibujo:


Y escribimos uno de los números arriba y el otro a la derecha de la cuadrícula.

3
2
9 .
7
1
8
.

Ahora empezamos la multiplicación, multiplicamos el número que está encima de cada columna, con el número que está a la derecha de cada renglón, escribiendo las decenas arriba de la diagonal y las unidades debajo.
Así llenamos toda la cuadrícula.

3
2
9 .
7
1
8
.

3 X 7 = 21 3 X 1 = 03 3 X 8 = 24
2 X 7 = 14 2 X 1 = 02 2 X 8 = 16
9 X 7 = 63 9 X 1 = 09 9 X 8 = 72
1er renglón
2º renglón
3º renglón


Ahora sumamos los números que quedaron en cada una de las diagonales, escribiendo el resultado justo debajo de la diagonal. Si quedan decenas en la suma de la diagonal, estas se llevarán a la siguiente.
Es muy importante que empecemos por la diagonal que queda abajo a la derecha.

* 9 + 7 + 6 = 22 escribimos 2 y llevamos 2 a la siguiente diagonal
** 2+3+2+1+4= 12 escribimos 2 y llevamos 1 a la siguiente diagonal
*** 1 + 6 + 4 + 3 + 2 = 16 escribimos 6 y llevamos 1 a la siguiente diagonal


Entonces el resultado de las sumas queda así:

El resultado se lee como indica la flecha, de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha.

Así .... 329 X 718 = 236,222

1 Realiza las siguientes multiplicaciones con el método de la celosía.

2 Haz varias multiplicaciones con el método de la celosía y con el método que usamos normalmente.

- ¿Cuál te parece más sencillo?
- ¿Cuál te parece más rápido?


3 A partir del siglo XV y por muchos siglos la gente multiplicó con este método.

- ¿Por qué crees que hoy usamos otro?
- Investiga de dónde surgió el método actual

4 Ahora te invitamos a que tú..

- Busca en un diccionario la palabra celosía.
- ¿Por qué este método se llama así?

miércoles, 9 de marzo de 2011

El número tachado

Los números tienen propiedades tan interesantes que con ellos podemos hacer trucos tan divertidos como este:
¿Qué debemos saber?
Sólo necesitas saber sumar, restar y conocer muy bien la tabla de multiplicar del 9

  • Pide a un compañero que escriba un número, el que sea y tan grande como quiera.
  • Pídele que lo multiplique por 10
  • Ahora pídele que al resultado que le dio le reste el número que pensó
  • El número que quedo tiene varios dígitos, pídele que tache uno de ellos y que te diga los otros. TÚ VAS A ADIVINAR QUE NÚMERO TACHÓ.

Hagamos un ejemplo:

  • Tu compañero escribió el siguiente número
    6372309
  • Lo multiplicó por 10 y le quedó
    6372309
    x 10
    ------------
    63723090
  • A este resultado le restó el número que escribió al principio
    63723090
    - 6372309
    ------------
    57350781
  • El número que le quedó es
    57350781
  • Supongamos que tachó el 8
    573507
    X1
  • Entonces, los números que le quedaron son:
    5, 7, 3, 5, 0, 7, y 1

Para que tu puedas adivinar qué número tachó, tendrás que sumar esos números

5+7+3+5+0+7+1=28

¿cuál es múltiplo de 9 que está más próximo a 28 y que sea mayor que 28 ?
En este caso es el 36.
Pero 28 para 36 son 8 y justamente es 8 el número que tachó.
36-28=
8

lunes, 7 de marzo de 2011

Cuadrados mágicos

En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como atestigua el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Este juego consiste en un cuadrado de nueve casillas, donde se han de colocar nueve números que sumados en vertical, en horizontal y en diagonal siempre den el mismo resultado.

Descubre cuál de estos cuadrados es un cuadrado mágico.



domingo, 6 de marzo de 2011

El libro de arena

La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes... No, decididamente no es éste, more geometrico, el mejor modo de iniciar mi relato. Afirmar que es verídico es ahora una convención de todo relato fantástico; el mío, sin embargo, es verídico.
Yo vivo solo, en un cuarto piso de la calle Belgrano. Hará unos meses, al atardecer, oí un golpe en la puerta. Abrí y entró un desconocido. Era un hombre alto, de rasgos desdibujados. Acaso mi miopía los vio así. Todo su aspecto era de pobreza decente. Estaba de gris y traía una valija gris en la mano. En seguida sentí que era extranjero. Al principio lo creí viejo; luego advertí que me había engañado su escaso pelo rubio, casi blanco, a la manera escandinava. En el curso de nuestra conversación, que no duraría una hora, supe que procedía de las Orcadas.Le señalé una silla. El hombre tardó un rato en hablar. Exhalaba melancolía, como yo ahora.
—Vendo biblias —me dijo.
No sin pedantería le contesté:
—En esta casa hay algunas biblias inglesas, incluso la primera, la de John Wiclif. Tengo
asimismo la de Cipriano de Valera, la de Lutero, que literariamente es la peor, y un
ejemplar latino de la Vulgata. Como usted ve, no son precisamente biblias lo que me
falta.
Al cabo de un silencio me contestó.
—No sólo vendo biblias. Puedo mostrarle un libro sagrado que tal vez le interese. Lo
adquirí en los confines de Bikanir.
Abrió la valija y lo dejó sobre la mesa. Era un volumen en octavo, encuadernado en tela.
Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné; su inusitado peso me sorprendió. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay.
—Será del siglo diecinueve —observé.
—No sé. No lo he sabido nunca —fue la respuesta.
Lo abrí al azar. Los caracteres me eran extraños. Las páginas, que me parecieron gastadas y de pobre tipografía, estaban impresas a dos columnas a la manera de una biblia. El texto era apretado y estaba ordenado en versículos. En el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página par llevara eln úmero (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, 999. La volví; el dorso estaba numerado con ocho cifras. Llevaba una pequeña ilustración, como es de uso en los diccionarios: un ancla dibujada a la pluma, como por la torpe mano de un niño. Fue entonces que el desconocido me dijo:
—Mírela bien. Ya no la verá nunca más.
Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz. Me fijé en el lugar y cerré el volumen. Inmediatamente lo abrí. En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja. Para ocultar mi desconcierto, le dije:
—Se trata de una versión de la Escritura en alguna lengua indostánica, ¿no es verdad?
—No —me replicó.
Luego bajó la voz como para confiarme un secreto:
—Lo adquirí en un pueblo de la llanura, a cambio de unas rupias y de la Biblia. Su poseedor no sabía leer. Sospecho que en el Libro de los Libros vio un amuleto. Era de la casta más baja; la gente no podía pisar su sombra, sin contaminación. Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen ni principio ni fin. Me pidió que buscara la primera hoja. Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al indice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro.
—Ahora busque el final.
También fracasé; apenas logré balbucear con una voz que no era la mía:
—Esto no puede ser.
Siempre en voz baja el vendedor de biblias me dijo:
—No puede ser, pero es. El número de páginas de este libro es exactamente infinito.
Ninguna es la primera; ninguna, la última. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita admiten cualquier número. Después, como si pensara en voz alta:
—Si el espacio es infinito estamos en cualquier punto del espacio. Si el tiempo es
infinito estamos en cualquier punto del tiempo.
Sus consideraciones me irritaron. Le pregunté:
—¿Usted es religioso, sin duda?
—Sí, soy presbiteriano. Mi conciencia está clara. Estoy seguro de no haber estafado al nativo cuando le di la Palabra del Señor a trueque de su libro diabólico.
Le aseguré que nada tenía que reprocharse, y le pregunté si estaba de paso por estas tierras. Me respondió que dentro de unos días pensaba regresar a su patria. Fue entonces cuando supe que era escocés, de las islas Orcadas. Le dije que a Escocia yo la quería personalmente por el amor de Stevenson y de Hume.
—Y de Robbie Burns —corrigió.
Mientras hablábamos yo seguía explorando el libro infinito. Con falsa indiferencia le pregunté:
—¿Usted se propone ofrecer este curioso espécimen al Museo Británico?
—No. Se lo ofrezco a usted —me replicó, y fijó una suma elevada.
Le respondí, con toda verdad, que esa suma era inaccesible para mí y me quedé
pensando. Al cabo de unos pocos minutos había urdido mi plan.
—Le propongo un canje —le dije—. Usted obtuvo este volumen por unas rupias y por
la Escritura Sagrada; yo le ofrezco el monto de mi jubilación, que acabo de cobrar, y la
Biblia de Wiclif en letra gótica. La heredé de mis padres.
—A black letter Wiclif! —murmuró.
Fui a mi dormitorio y le traje el dinero y el libro. Volvió las hojas y estudió la carátula con fervor de bibliófilo.
—Trato hecho —me dijo.
Me asombró que no regateara. Sólo después comprendería que había entrado en mi casa con la decisión de vender el libro. No contó los billetes, y los guardó. Hablamos de la India, de las Orcadas y de los jarls noruegos que las rigieron. Era de noche cuando el hombre se fue. No he vuelto a verlo ni sé su nombre. Pensé guardar el Libro de Arena en el hueco que había dejado el Wiclif, pero opté al fin por esconderlo detrás de unos volúmenes descabalados de Las mil y una noches. Me acosté y no dormí. A las tres o cuatro de la mañana prendí la luz. Busqué el libro imposible, y volví las hojas. En una de ellas vi grabada una máscara. El ángulo llevaba una cifra, ya no sé cuál, elevada a la novena potencia. No mostré a nadie mi tesoro. A la dicha de poseerlo se agregó el temor de que lo robaran, y después el recelo de que no fuera verdaderamente infinito. Esas dos inquietudes agravaron mi ya vieja misantropía. Me quedaban unos amigos; dejé de verlos. Prisionero del Libro, casi no me asomaba a la calle. Examiné con una lupa el gastado lomo y las tapas, y rechacé la posibilidad de algún artificio. Comprobé que las pequeñas ilustraciones distaban dos mil páginas una de otra. Las fui anotando en una libreta alfabética, que no tardé en llenar. Nunca se repitieron. De noche, en los escasos intervalos que me concedía el insomnio, soñaba con el libro. Declinaba el verano, y comprendí que el libro era monstruoso. De nada me sirvió considerar que no menos monstruoso era yo, que lo percibía con ojos y lo palpaba con diez dedos con uñas. Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena que
infamaba y corrompía la realidad. Pensé en el fuego, pero temí que la combustión de un libro infinito fuera parejamente infinita y sofocara de humo al planeta. Recordé haber leído que el mejor lugar para ocultar una hoja es un bosque. Antes de jubilarme trabajaba en la Biblioteca Nacional, que guarda novecientos mil libros; sé que a mano derecha del vestíbulo una escalera curva se hunde en el sótano, donde están los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para perder el Libro de Arena en uno de los húmedos anaqueles. Traté de no fijarme a qué altura ni a qué distancia de la puerta.
Siento un poco de alivio, pero no quiero ni pasar por la calle México.

Jorge Luís Borges

sábado, 5 de marzo de 2011

Laberinto de fracciones

Encuentra la salida correcta y descifrarás el mensaje. Sólo puedes pasar por fracciones que estén en su expresión más simple.