domingo, 13 de febrero de 2011

Los puentes de Königsberg
En la ciudad prusiana de Königsberg (hoy perteneciente a Rusia y llamada Kaliningrado) existían siete puentes que unían las cuatro zonas en las que el río Pregel la dividía, como aparece en la siguiente figura. Las mencionadas cuatro zonas son: las orilla A y B, la isla de Keneiphof, C, y la parte intermedia a la bifurcación del río, D.


Según se cuenta, como diversión, los vecinos de la citada ciudad de Königsberg trataban de realizar un recorrido por la localidad de manera que se cruzaran todos los puentes, pero sin pasar más de una vez por el mismo.
Nunca circuló la noticia de que alguien hubiera logrado realizar tal recorrido, por lo que los ciudadanos de la ciudad que viera nacer a Emmanuel Kant (1724-1804) creía que tal vez no fuera posible llevarlo a término, si bien no se daban por vencidos y sus infructuosos intentos continuaban.
Esta cuestión llegó a oídos de Euler, quien mostró un especial interés por ella, al pensar que podía tratarse de un problema de "geometría de la posición". La geometría de la posición, de la que aparece alguna referencia en la obra de Leibniz, era entendida por Euler como un tipo de geometría en el que los cálculos no tenían ninguna importancias, pies era la posición de los objetos involucrados lo único relevante.
Así pues, entregado Euler a reflexiones sobre el problema, llegó a resolverlo d una forma ciertamente ingeniosa y novedosa, publicando sus resultados en 1736 en un artículo cuyo título era "La solución de un problema referente a la geometría de la posición".
El planteamiento de Euler consistió en representar las cuatro zonas por puntos y los siete puentes por arcos que unieran dichos puntos, obteniendo la siguiente figura, en la que nada importan las distancias o las áreas.

Euler llamó "grado" al número de líneas (aristas) que confluyen en cada punto (vértice), descubriendo que todos los vértices de esta figura tenían grado impar.
Siguiendo un razonamiento realmente sencillo, aunque no lo resultara en su época, llegó a una conclusión. ¿Cuál crees que fue la conclusión que obtuvo Euler? ¿los habitantes de esta ciudad podrán completar su recorrido?

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